Primero se descarga Java de su página oficial:
Java SE Downloads http://www.oracle.com/technetwork/java/javase/downloads/index.html

El software se denomina J2SE (Java 2 Standard Edition) y la última versión es la 6 Update 45 hasta mayo del 2013 (es el último update de la serie 1.6, ya que ya existe una versión 1.7). El archivo que se baja es:
jdk-6u45-linux-i586.bin

Si no se han modificado las opciones de descarga del navegador, el archivo queda almacenado en "/home/rogelio/Descargas". A continuación se arranca una terminal por medio de los menús superiores seleccionando:
Aplicaciones > Accesorios > Terminal

Ya dentro de la terminal, se cambia a usuario root:
rogelio@rogelio-laptop:~$ sudo su root
[sudo] password for rogelio:

Primero movemos el archivo que se bajó de internet ("jdk-6u45-linux-i586.bin") del directorio donde se descargó ("/home/rogelio/Descargas") al directorio donde lo vamos a instalar ("/opt"):
root@rogelio-laptop:/home/rogelio# mv /home/rogelio/Descargas/jdk-6u45-linux-i586.bin /opt/

A continuación nos cambiamos al directorio donde se movió el archivo:
root@rogelio-laptop:/home/rogelio# cd /opt/

Le asignamos todos los permisos al archivo para que se pueda instalar:
root@rogelio-laptop:/opt# chmod 777 jdk-6u45-linux-i586.bin

Ejecutamos el archivo:
root@rogelio-laptop:/opt# ./jdk-6u45-linux-i586.bin

A continuación se descomprimen los archivos que se van a instalar y en la pantalla aparece que fué instalado correctamente cuando sale el texto de:
Done.

Con esto se termina la instalación, asi que ahora borramos el archivo de instalación:
root@rogelio-laptop:/opt# rm jdk-6u45-linux-i586.bin

Para probar la versión instalada primero nos cambiamos al directorio donde quedó instalado:

root@rogelio-laptop:/opt# cd jdk1.6.0_45/

Luego nos cambiamos al directorio bin:

root@rogelio-laptop:/opt/jdk1.6.0_45# cd bin/

Y tecleamos el siguiente comando:
root@rogelio-laptop:/opt/jdk1.6.0_45/bin# ./java -version

y si quedo correctamente instalado imprimirá en pantalla lo siguiente:
java version "1.6.0_45"
Java(TM) SE Runtime Environment (build 1.6.0_45-b06)
Java HotSpot(TM) Client VM (build 20.45-b01, mixed mode, sharing)

Para correr un programa en Java primero nos salimos del usuario root y regresamos al usuario que estábamos usando (en este caso el usuario era rogelio), para eso utilizamos el siguiente comando:
root@rogelio-laptop:/opt/jdk1.6.0_45/bin# exit
exit

Creamos un directorio (java) dentro de nuestro usuario personal (en este caso /home/rogelio):
rogelio@rogelio-laptop:~$ mkdir java

Nos cambiamos a este directorio para trabajar ahi:
rogelio@rogelio-laptop:~$ cd java/

Ahora creamos un archivo donde estará nuestro código java, utilizando un procesador de texto (para este ejemplo usamos "nano"). El nombre de nuestro archivo es "hola.java":
rogelio@rogelio-laptop:~/java$ nano hola.java

Aparece una pantalla y tecleamos el código del programa:

public class hola {
public static void main (String[] args) {
System.out.println("Hola Mundo en Java!!!");
}
}

Nos salimos con CRTL+X y nos pregunta si lo queremos guardar le damos "s" y nos muestra el nombre del archivo y le damos "ENTER". Ya tenemos el archivo, sólo hace falta invocar al compilador y a la máquina virtual, para ello creamos un enlace que hace referencia al compilador de java (javac) y a la maquina virtual de java (java):

rogelio@rogelio-laptop:~/java$ ln -s /opt/jdk1.6.0_45/bin/javac javac
rogelio@rogelio-laptop:~/java$ ln -s /opt/jdk1.6.0_45/bin/java java

y de regreso en la terminal para compilar el programa:

rogelio@rogelio-laptop:~/java$ ./javac hola.java

y por ultimo para ejecutar el programa:

rogelio@rogelio-laptop:~/java$ ./java hola

Hola Mundo en Java!!!